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Was ist ein Punktprodukt (Skalarprodukt)?
Das Punktprodukt, auch als Skalarprodukt bezeichnet, ist eine Zahl (Skalargröße), die durch Ausführen einer spezifischen Operation an den Vektorkomponenten erhalten wird. Das Skalarprodukt hat nur Bedeutung für Paare von Vektoren mit der gleichen Anzahl von Dimensionen. Die Punktproduktnummer ist in vielen Problemen der Physik eine herausragende Rolle und Varianten davon tauchen in einer enormen Anzahl mathematischer Gebiete auf.
In der zweidimensionalen kartesischen Ebene werden Vektoren durch die x-Koordinaten und y-Koordinaten ihrer Endpunkte ausgedrückt, vorausgesetzt, sie beginnen am Ursprung (x, y) = (0,0). Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird bestimmt, indem ihre x-Koordinaten multipliziert, dann ihre y-Koordinaten multipliziert und schließlich die beiden Produkte addiert werden.
Was Sie über Dot-Produkte wissen müssen
- Wenn das Produkt zweier Vektoren eine Skalargröße ist, wird das Produkt als Skalarprodukt oder Punktprodukt bezeichnet.
- Das Punktprodukt wird durch Multiplizieren der entsprechenden Einträge und anschließendes Summieren der Produkte erhalten.
- Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, ist ihr Skalarprodukt null.
- Das Skalarprodukt gehorcht dem Kommutativgesetz als AB=BA
- Das Ergebnis des Punktprodukts gibt keine Richtung an.
- Das Punktprodukt wird zum Zweck der Projektion eines Vektors auf einen anderen verwendet.
- Bei algebraischen Operationen nimmt das Skalarprodukt zwei gleich lange Zahlenfolgen und ergibt eine einzige Zahl.
- Einige der Anwendungen des Punktprodukts umfassen das Berechnen des Abstands eines Punkts zu einer Ebene, das Berechnen des Abstands eines Punkts zu einer Linie und das Berechnen der Projektion eines Punkts.
- Wenn die Vektoren „a“ und „b“ heißen, wird das Skalarprodukt durch „ab“ dargestellt. Dies ist gleich den Größen multipliziert mit dem Kosinus der Winkel. ( AB= ABCosƟ).
Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Das Kreuzprodukt, auch als Vektorprodukt bezeichnet , ist eine binäre Operation an zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum und wird durch das Symbol bezeichnet. Gegeben zwei linear unabhängige Vektoren und das Kreuzprodukt ist ein Vektor, der senkrecht zu beiden und damit senkrecht zu der sie enthaltenden Ebene steht. Wenn zwei Vektoren die gleiche Richtung haben (oder die genau entgegengesetzte Richtung haben, dh nicht linear unabhängig sind) oder wenn einer von ihnen die Länge Null hat, dann ist ihr Kreuzprodukt Null.
Das Kreuzprodukt hat Anwendungen in verschiedenen Bereichen, zB wird es in der Computergeometrie, Physik und Ingenieurwesen verwendet. Das Kreuzprodukt erscheint beispielsweise bei der Berechnung des Abstands zweier Schräglinien (Linien nicht in derselben Ebene) voneinander im dreidimensionalen Raum. In der rechnerischen Geometrie der Ebenen wird das Kreuzprodukt verwendet, um das Vorzeichen des durch drei Punkte definierten spitzen Winkels zu bestimmen.
Was Sie über produktübergreifende Produkte wissen müssen
- Wenn das Produkt zweier Vektoren eine Vektorgröße ist, wird das Produkt als Vektorprodukt oder Kreuzprodukt bezeichnet.
- Das Kreuzprodukt kann als binäre Operation an zwei Vektoren in einem dreidimensionalen Raum beschrieben werden.
- Wenn zwei Vektoren parallel zueinander sind, ist ihr Vektorprodukt Null.
- Der Vektor oder das Kreuzprodukt gehorcht nicht dem Kommutativgesetz, AXB≠BXA
- Das produktübergreifende Ergebnis gibt die Richtung an.
- Das Kreuzprodukt wird nicht für die Projektion eines Vektors auf einen anderen verwendet.
- Das Kreuzprodukt führt zu einem Vektor, der sowohl senkrecht zu den multiplizierten Vektoren als auch senkrecht zur Ebene steht.
- Einige der Anwendungen des Kreuzprodukts sind die Berechnung des Abstands eines Punktes zu einer Ebene und die Berechnung des Spiegellichts.
- In den Vektoren „a“ und „b“ wird das Kreuzprodukt durch „a X b“ dargestellt. Dies ist gleich den Beträgen multipliziert mit dem Sinus der Winkel und danach multipliziert mit “n”, einem Einheitsvektor. ( AXB=AB Sin Ɵ n )
Lesen Sie auch : Unterschied zwischen Skalar- und Vektorquantität
Unterschied zwischen Punktprodukt und Kreuzprodukt in Tabellenform
| VERGLEICHSGRUNDLAGE | SKALARPRODUKT | KREUZPRODUKT |
| Beschreibung | Wenn das Produkt zweier Vektoren eine Skalargröße ist, wird das Produkt als Skalarprodukt oder Punktprodukt bezeichnet. | Wenn das Produkt zweier Vektoren eine Vektorgröße ist, wird das Produkt als Vektorprodukt oder Kreuzprodukt bezeichnet. |
| Wie wird es erhalten | Das Punktprodukt wird durch Multiplizieren der entsprechenden Einträge und anschließendes Summieren der Produkte erhalten. | Das Kreuzprodukt kann als binäre Operation an zwei Vektoren in einem dreidimensionalen Raum beschrieben werden. |
| Nullvektor/Skalarprodukt | Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, ist ihr Skalarprodukt null. | Wenn zwei Vektoren parallel zueinander sind, ist ihr Vektorprodukt Null. |
| Kommutativgesetz | Das Skalarprodukt gehorcht dem Kommutativgesetz als AB=BA | Der Vektor oder das Kreuzprodukt gehorcht nicht dem Kommutativgesetz, AXB≠BXA |
| Richtung | Das Ergebnis des Punktprodukts gibt keine Richtung an. | Das produktübergreifende Ergebnis gibt die Richtung an. |
| Verwenden | Das Punktprodukt wird zum Zweck der Projektion eines Vektors auf einen anderen verwendet. | Das Kreuzprodukt wird nicht für die Projektion eines Vektors auf einen anderen verwendet. |
| Ergebnis | Bei algebraischen Operationen nimmt das Skalarprodukt zwei gleich lange Zahlenfolgen und ergibt eine einzige Zahl. | Das Kreuzprodukt führt zu einem Vektor, der sowohl senkrecht zu den multiplizierten Vektoren als auch senkrecht zur Ebene steht. |
| Anwendung | Einige der Anwendungen des Punktprodukts umfassen das Berechnen des Abstands eines Punkts zu einer Ebene, das Berechnen des Abstands eines Punkts zu einer Linie und das Berechnen der Projektion eines Punkts. | Einige der Anwendungen des Kreuzprodukts sind die Berechnung des Abstands eines Punktes zu einer Ebene und die Berechnung des Spiegellichts. |
| Darstellung | Wenn die Vektoren „a“ und „b“ heißen, wird das Skalarprodukt durch „ab“ dargestellt. Dies ist gleich den Größen multipliziert mit dem Kosinus der Winkel. ( AB= ABCosƟ). | In den Vektoren „a“ und „b“ wird das Kreuzprodukt durch „a X b“ dargestellt. Dies ist gleich den Beträgen multipliziert mit dem Sinus der Winkel und danach multipliziert mit “n”, einem Einheitsvektor. ( AXB=AB Sin Ɵ n ) |
