Unterschied zwischen euklidischer und sphärischer Geometrie

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Was ist euklidische Geometrie?

Die euklidische Geometrie, manchmal auch parabolische Geometrie genannt, ist das Studium von ebenen und festen Figuren auf der Grundlage von Axiomen und Theoremen. Die euklidische Geometrie wird als axiomatisches System betrachtet, bei dem alle Sätze aus der kleinen Anzahl einfacher Axiome abgeleitet werden. Da sich der Begriff ”Geometrie” mit Dingen wie Punkten, Linien, Winkeln, Quadraten, Dreiecken und anderen Formen befasst, befasst sich die euklidische Geometrie mit den Eigenschaften und Beziehungen zwischen all diesen Dingen.

Es gibt zwei Arten von euklidischer Geometrie: ebene Geometrie, die eine zweidimensionale euklidische Geometrie ist, und feste Geometrie, die dreidimensionale euklidische Geometrie ist.

Euklids fünf Postulate

Nehmen Sie die drei Schritte von Volumenkörpern zu Punkten als Volumenkörper-Oberflächen-Linien-Punkte an. In jedem Schritt geht eine Dimension verloren.
Ein Volumenkörper hat 3 Dimensionen, die Fläche hat 2, die Linie hat 1 und der Punkt ist dimensionslos.
Ein Punkt ist alles, was keinen Teil hat, eine breitenlose Länge ist eine Linie und die Enden einer Linie Punkt.

Eine Fläche ist etwas, das nur Länge und Breite hat.

Was Sie über die euklidische Geometrie wissen müssen

Linien erstrecken sich auf unbestimmte Zeit und haben keine Dicke.
Eine Linie ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten.

Tatsächlich ist eine Gerade unendlich.
Bei drei kollinearen Punkten liegt insbesondere immer ein Punkt zwischen den beiden anderen.
Zum Schluss schneiden sich senkrechte Linien in einem Punkt.

Senkrechte Linien bilden vier rechte Winkel.

Was ist sphärische Geometrie?

Kugelgeometrie ist die Geometrie der zweidimensionalen Oberfläche einer Kugel. Die sphärische Geometrie funktioniert ähnlich wie die euklidische Geometrie, da es noch Punkte, Linien und Winkel gibt. Zum Beispiel ist eine ”Linie” zwischen zwei Punkten auf einer Kugel eigentlich ein Großkreis der Kugel, der auch die Projektion einer Linie im dreidimensionalen Raum auf die Kugel ist. Eine sphärische Geometrie bietet das kleinste Oberflächen-Volumen-Verhältnis aller geometrischen Formen.

Das Grundelement der Kugelgeometrie ist die Kugel, eine dreidimensionale Fläche, die sich aus der Menge aller Punkte im Raum in einem bestimmten Abstand von einem Fixpunkt, dem Mittelpunkt, zusammensetzt. Die sphärische Geometrie ist nützlich für genaue Berechnungen von Winkelmaß, Fläche und Entfernung auf der Erde; das Studium der Astronomie, Kosmologie und Navigation sowie Anwendungen der stereographischen Projektion in der komplexen Analyse, der linearen Algebra und der arithmetischen Geometrie.

Was Sie über sphärische Geometrie wissen müssen

Eine Linie ist ein Großkreis, der die Kugel in zwei gleiche Halbkugeln teilt.
Es gibt einen einzigartigen Großkreis, der durch jedes Paar unpolarer Punkte geht.
Ein Großkreis ist endlich und kehrt schließlich zu seinem ursprünglichen Ausgangspunkt zurück.

Bei drei kollinearen Punkten könnte jeder Punkt in der Mitte der anderen beiden liegen.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich senkrechte Linien in zwei Punkten schneiden.
Senkrechte Linien bilden acht rechte Winkel.