7 Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen (mit Beispielen)

Was sind rationale Zahlen?

Rationale Zahlen sind solche Zahlen, die als Quotient (das Ergebnis einer regulären Divisionsgleichung) ausgedrückt werden können. Auch wenn Sie die resultierende Zahl nicht als Bruch ausdrücken und sie sich unendlich wiederholt, kann sie immer noch eine rationale Zahl sein. Null ist eine rationale Zahl.

Laut Beschreibung umfassen die rationalen Zahlen alle ganzen Zahlen, Brüche und sich wiederholende Dezimalzahlen. Für jede rationale Zahl können wir sie in der Form c/q schreiben, wobei c und q ganzzahlige Werte sind.

Damit eine Zahl als rationale Zahl gilt, muss sie die folgenden Kriterien erfüllen:

• Es kann in Form eines einfachen Bruches mit Zähler (c) dividiert durch einen Nenner (q) ausgedrückt werden.
• Sowohl der Zähler als auch der Nenner müssen selbst reguläre ganze Zahlen sein. Eine ganze Zahl kann einfach als ganze Zahl wie 3, 6 oder 15 beschrieben werden.
• Der Nenner (q) darf nicht null sein. Der Zähler oder Nenner kann positiv oder negativ sein, solange der Nenner nicht Null ist.

 Beispiele für rationale Zahlen

• Zahl 5 kann als 5/1 geschrieben werden, wobei sowohl 5 als auch 1 ganze Zahlen sind.
• 0.5 kann als ½, 5/10, 25/50 oder 10/20 und in Form aller abschließenden Dezimalzahlen geschrieben werden.
• √81 ist eine rationale Zahl, da sie auf 9 vereinfacht und als 9/1 ausgedrückt werden kann.
• 0,8888888 ist wiederkehrende Dezimalzahlen und ist eine rationale Zahl

Fakten über rationale Zahlen

• Die Zahlen, die sich als Verhältnis zweier Zahlen, also in der Form c/q, ausdrücken lassen, werden als rationale Zahlen bezeichnet.
• Rationale Zahlen umfassen Zahlen, die endlich oder wiederkehrender Natur sind.
• Rationale Zahlen bestehen aus Zahlen, die perfekte Quadrate sind, wie 4, 9, 16, 25 usw.
• Sowohl Zähler als auch Nenner rationaler Zahlen sind ganze Zahlen, bei denen der Nenner rationaler Zahlen nicht gleich Null ist.
• Beispiel für rationale Zahlen: 5/3= 1.66, 1/7 =0.1428, 8/6=1.33

Was sind irrationale Zahlen?

Eine irrationale Zahl ist eine Zahl, die nicht als Verhältnis zweier Zahlen ausgedrückt werden kann und nicht als einfacher Bruch geschrieben werden kann, da es keine endliche Anzahl von Zahlen gibt, wenn sie als Dezimalzahl geschrieben werden. Stattdessen würden die Zahlen in der Dezimalzahl ewig weitergehen, ohne sich zu wiederholen.

Die irrationalen Zahlen können in Form von nicht terminierenden Brüchen und auf unterschiedliche Weise ausgedrückt werden. Zum Beispiel führen die Quadratwurzeln, die keine perfekten Quadrate sind, immer zu einer irrationalen Zahl.

Beispiele für irrationale Zahlen

• 5/0 ist eine irrationale Zahl mit dem Nenner Null.
• π ist eine irrationale Zahl mit dem Wert 3,142… und ist eine unendliche und sich nicht wiederholende Zahl.
• √2 ist eine irrationale Zahl, da sie nicht vereinfacht werden kann.
• 0.212112111… ist eine rationale Zahl, da sie nicht wiederkehrt und nicht endet.

Fakten über irrationale Zahlen

• Zahlen, die sich nicht als Verhältnis zweier Zahlen, also in der Form c/q, ausdrücken lassen, werden als irrationale Zahlen bezeichnet.
• Diese bestehen aus Zahlen, die nicht terminieren und sich nicht wiederholen.
• Die irrationalen Zahlen beinhalten Surds wie 2, √3, √5, √7 und so weiter.
• Irrationale Zahlen können nicht in Bruchform dargestellt werden.
• Beispiele für irrationale Zahlen: √7, √17, √5, √9

Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen in Tabellenform

VERGLEICHSGRUNDLAGE	RATIONALE ZAHLEN	IRRATIONALE ZAHLEN
Beschreibung	Die Zahlen, die sich als Verhältnis zweier Zahlen, also in der Form c/q, ausdrücken lassen, werden als rationale Zahlen bezeichnet.	Zahlen, die sich nicht als Verhältnis zweier Zahlen, also in der Form c/q, ausdrücken lassen, werden als irrationale Zahlen bezeichnet.
Natur der Zahlen	Rationale Zahlen umfassen Zahlen, die endlich oder wiederkehrender Natur sind.	Diese bestehen aus Zahlen, die nicht terminieren und sich nicht wiederholen.
Besteht aus	Rationale Zahlen bestehen aus Zahlen, die perfekte Quadrate sind, wie 4, 9, 16, 25 usw.	Die irrationalen Zahlen beinhalten Surds wie 2, √3, √5, √7 und so weiter.
Darstellung	Sowohl Zähler als auch Nenner rationaler Zahlen sind ganze Zahlen, bei denen der Nenner rationaler Zahlen nicht gleich Null ist.	Irrationale Zahlen können nicht in Bruchform dargestellt werden.
Beispiele	5/3= 1,66, 1/7 =0,1428, 8/6=1,33	7, 17, 5, √9

Arithmetische Regeln für rationale und irrationale Zahlen

• Die Summe zweier irrationaler Zahlen kann eine irrationale Zahl oder eine rationale Zahl sein, zum Beispiel (√2+ 4), (π + 2) sind irrationale Zahlen und √2 + (-√2) = 0
• Das Produkt einer irrationalen Zahl zu einer rationalen Zahl ist eine irrationale Zahl, zum Beispiel sind 2√5,2π irrationale Zahlen.
• Das Produkt zweier irrationaler Zahlen kann eine rationale oder irrationale Zahl sein, zum Beispiel √2×–√2=-2,√2×√3 = √6
• Das Produkt zweier identischer irrationaler Zahlen kann rational oder irrational sein, als Beispiel √2×√2 = 2, 
• Die Division zweier irrationaler Zahlen kann rational oder irrational sein, zum Beispiel 2√2/3√2= 2/3 , 2√2/√3 usw.